MSPark's Blog

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순열

nPr -> n개의 원소중 r개를 뽑아 일렬로 나열한 가지의 수(순서를 따진다.)

공식 : n! / (n - r)!

ex) 알파벳 ABCD가 있을 때 이 중 2개를 뽑아서 나열하는 가지의 수를 구하여라.

n = 4
r  = 2

4 * 3 = 12(가지)

공식대로라면 12가지가 나와야 한다. 간단한 문제이니 직접 확인해 보자.

처음에 뽑을 수 있는 알파벳은 A,B,C,D 이렇게 4가지이다.

그 다음에 뽑을 수 있는건 앞에서 뽑은 알파벳을 제외한 나머지 3개이다. 그래서 12개이다.

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조합

nCr -> n개의 원소중 r개를 뽑는 가지의 수

공식 : n! / (n - r)! r!

ex) 알파벳 ABCD가 있을 때 이 중 2개를 뽑는 가지의 수를 구하여라.

n = 4
r  = 2

4! / 2!2! = 6(가지)

조합의 경우에는 순열과 다르게 순서를 생각하지 않기 때문에 내가 AB를 뽑았던 BA를 뽑았던 같은 녀석으로 친다.

n!/(n-r)! -> 이 부분까지는 순열 계산과 동일한데 여기에 1/r!을 추가해서 r개가 겹쳐지는 경우의 수를 제거하여 

순서를 생각하지않고 뽑은 경우의 수를 계산한 것이다.

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이항정리

(a＋b)ⁿ=aⁿ＋_nC₁a^n-1b＋_nC₂a^n-2b²＋… ＋_nC_ka^n-kb^k＋…＋bn

다음식이 이항정리이다.

두항의 거듭제곱을 전개하는 방법을 일반화 해놓은 것이다.

간단히 살펴보면 (a + b)가 n번 곱해진걸 전개된다라는 이야기는 

각각의 (a + b)중에서 a와 b가 몇번 나오는가?라는 문제로 변환해서 생각해 봐도 무방하다.

그렇기 때문에 a와 b가 선택된 횟수를 구하기 위해 조합을 이용하여 계수를 구한다.

뜬금없이 왜 이항정리를 올리는가 하면 앞으로 미분을 공부하면

미분을 하는 방법에 대해서 정리하게 될 것이고 그 안에서 일반화 과정이 들어갈텐데

방정식을 일반화 하기 위해서 이항정리가 필요하기 때문이다.

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일반적으로 삼각함수를 학교에서 배우듯이 외우기만 해서는 너무나 어렵게 느껴질 수 있다.

삼각함수에 대해서 많은 공식들도 있다.

이것들을 외워두면 편하겠지만 먼저 이런 공식들의 유도에 대해서 이해한다면 더 좋을 것이다.

삼각함수를 바라보는 시각을 바꿔보면 다음과 같이 해석할 수 있다.

반지름이 1이고 중심이 원점인 단위원의 원주를 나타내는 좌표로 보면 된다.

다시 정리하면 반지름의 1이고 중심이 원점인 원에 대해서

X좌표  : cos@
Y좌표  : sin@
기울기 : tan@

삼각함수가 나오면 위의 그림을 떠올리며 각각을 X, Y, 기울기로 생각하면 더 쉽게 접근할 수 있을 것이다.

여기서 조금더 확장을 해보자.

반지름이 r이면 어떻게 변할까??

위의 경우에는 반지름이 1일때의 경우이기 때문에 X좌표와, Y좌표 즉 cos@, sin@에 r배를 해주면 된다.

반지름이 r이고 중심이 원점인 원은

X좌표  : r * cos@
Y좌표  : r * sin@
기울기 : tan@

기울기의 경우에는 반지름이 커지거나 작아지더라도 변함이 없다.

반지름이 1이고 중심이 (1, 2)인 원은 어떻게 표현하면 될까?

기존에 중심이 원점이였을 때보다 X로 1칸 Y로 2칸 더 간 형태의 모습이기 때문에 다음과 같이 구할 수 있다.

반지름이 1이고 중심이 (1, 2)인 원은

X좌표  : cos@ + 1
Y좌표  : sin@  + 2
기울기 : tan@

이 경우에도 기울기 자체는 변하지 않는다.

이번엔 둘 다 합쳐보자.

반지름이 r이고 중심이 (a, b)인 원을 표현해 보면

X좌표  : r * cos@ + a
Y좌표  : r * sin@ + b
기울기 : tan@

이것만 기억하고 있어도 기본적인 삼각함수 공식들을 위의 원에 대입해 보면 쉽게 이해가 갈 것이다.

[작가 소개]
더글러스 다우닝
1979년 예일 대학에서 경제학, 정치학, 천문학, 물리학을 전공하였고, 1982년에 예일 대학 철학 석사 학위, 1989년에 예일 대학 경제학 박사 학위를 취득하였다. 현재, 시애틀 퍼시픽 대학 경제학 교수이다.

[출판사 서평]
실생활에서 발견하는 수학의 묘미, 이야기로 풀어가는 미적분 해결사

미적분은 그 자체만을 이해하는 데도 힘이 들고, 주어진 공식을 푸는 것만으로도 버거워 적용 분야나 응용 방법은 고사하고 기본적인 개념마저 포기하는 경우다 허다하다.

이 책은 이러한 문제를 해결해 줄 수 있는 가장 쉽고도 빠른 유일한 수단이다. 이야기 속에서 미적분을 모르는 사람들이 모여 실생활에서 나타나는 문제들을 해결할 수 있는 방법을 찾다가 미적분이라는 새로운 방법을 발견하고, 이 방법으로 과거에는 생각조차 하지 못했던 많은 문제들을 해결해 나가는 과정에서 독자들은 자연스럽게 미적분이라는 학문을 이해하게 된다.

미적분을 모르는 사람들이다 보니 스스로 이해하기 위해서, 또 이해시키기 위해서 여러 가지 방법을 모색하고 해답을 찾아가는 과정을 그대로 보여주고 있기 때문에 더욱 쉽게 다가온다. 또 실생활에서 일어나는 문제들을 해결하기 위해 토론 위주로 내용을 이끌어가고 있어서 자연스럽게 미적분이 어떻게 실생활에 응용되는지에 대해서도 알 수 있다. 게다가 단순히 미적분을 설명하는 형식이 아닌, 낯선 나라에서 낯선 사람들에게 일어나는 일들을 이야기 형식으로 풀어가다 보니, 소설 한 권을 읽는 것과 똑같은 느낌으로 감동과 함께 자연스럽게 미적분을 익힐 수 있다. 이 책 한 권으로 전혀 새로운 학문을 접하게 되는 것이다.

이 책을 다 읽은 사람이라면 수학, 나아가 미적분뿐만 아니라 이 세상의 어떠한 학문도 두려움 없이 받아들일 수 있고, 어떤 사물이나 사건을 접할 때도 훨씬 깊고 넓은 시야로 바라볼 줄 아는 혜안을 가질 것이다.

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사서 보고 있는데 앞에 설명 부분은 이야기 처럼 풀어가지만 결국에는 일반 교과서와 같은 느낌을 받는다.

챕터마다 연습문제도 있다.

하지만 나쁘지 않다. 미적분 공부를 다시 시작해 보려고 할 때 정석을 펴고 하는 것 보다 거부감도 없고

설명도 나름 잘 되어 있다. ( 이 책은 원래 교과서 용도로 만들어 졌다고 한다. )

하여튼 다시 복습 시작! ㅋㅋ