순열, 조합, 이항정리

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순열

nPr -> n개의 원소중 r개를 뽑아 일렬로 나열한 가지의 수(순서를 따진다.)

공식 : n! / (n - r)!

ex) 알파벳 ABCD가 있을 때 이 중 2개를 뽑아서 나열하는 가지의 수를 구하여라.

n = 4
r  = 2

4 * 3 = 12(가지)

공식대로라면 12가지가 나와야 한다. 간단한 문제이니 직접 확인해 보자.

처음에 뽑을 수 있는 알파벳은 A,B,C,D 이렇게 4가지이다.

그 다음에 뽑을 수 있는건 앞에서 뽑은 알파벳을 제외한 나머지 3개이다. 그래서 12개이다.

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조합

nCr -> n개의 원소중 r개를 뽑는 가지의 수

공식 : n! / (n - r)! r!

ex) 알파벳 ABCD가 있을 때 이 중 2개를 뽑는 가지의 수를 구하여라.

n = 4
r  = 2

4! / 2!2! = 6(가지)

조합의 경우에는 순열과 다르게 순서를 생각하지 않기 때문에 내가 AB를 뽑았던 BA를 뽑았던 같은 녀석으로 친다.

n!/(n-r)! -> 이 부분까지는 순열 계산과 동일한데 여기에 1/r!을 추가해서 r개가 겹쳐지는 경우의 수를 제거하여 

순서를 생각하지않고 뽑은 경우의 수를 계산한 것이다.

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이항정리

(a＋b)ⁿ=aⁿ＋_nC₁a^n-1b＋_nC₂a^n-2b²＋… ＋_nC_ka^n-kb^k＋…＋bn

다음식이 이항정리이다.

두항의 거듭제곱을 전개하는 방법을 일반화 해놓은 것이다.

간단히 살펴보면 (a + b)가 n번 곱해진걸 전개된다라는 이야기는 

각각의 (a + b)중에서 a와 b가 몇번 나오는가?라는 문제로 변환해서 생각해 봐도 무방하다.

그렇기 때문에 a와 b가 선택된 횟수를 구하기 위해 조합을 이용하여 계수를 구한다.

뜬금없이 왜 이항정리를 올리는가 하면 앞으로 미분을 공부하면

미분을 하는 방법에 대해서 정리하게 될 것이고 그 안에서 일반화 과정이 들어갈텐데

방정식을 일반화 하기 위해서 이항정리가 필요하기 때문이다.

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