프로그래머를 위한 선형대수 - 벡터와 공간

프로그래머를 위한 선형대수라는 책이 있다.

이 책을 기반으로 선형대수학을 정리해보려고 한다.

수식은 TeX 문법을 이용해서 적어본다.

처음 해보는거라서 조금 오래 걸릴듯 ㅠㅠ

책의 모든 내용을 담을 수는 없고 간단히 정리하는 느낌으로 적어보자.

부족한 내용은 생각나는대로 추가로 업데이트해보자.

벡터

벡터 : 수를 나열한 것 (수치의 조합을 정리하여 나타내는 기법)

종벡터 : 세로로 나열

횡벡터 : 가로로 나열

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)

성분수를 명시하면 3차원 벡터

벡터를 표시할때는 두꺼운 글자로 표시

\( \mathbf{x}, \mathbf{v}, \mathbf{0} \)

영벡터 : 모든 성분이 0인 벡터

\( \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0, \cdots, 0 \end{pmatrix} \)

벡터의 연산 정의

덧셈 (같은 차원)

\( \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} + y_{1} \\ \vdots \\ x_{n} + y_{n} \end{pmatrix} \)

정수배 (임의의 수 c에 대해)

\( c\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cx_{1} \\ \vdots \\ cx_{n} \end{pmatrix} \)

벡터의 연산을 이용한 벡터의 성질

1. \( (cc')x = c(c'x) \)
2. \( 1x = x \)
3. \( x + y = y + x \)
4. \( (x + y) + z = x + (y + z) \)
5. \( x + 0 = x \)
6. \( x + (-x) = 0 \)
7. \( c(x + y) = cx = cy \)
8. \( (c + c')x = cx + c'x \)

기저

위에서 나온 덧셈과 정수배가 정의된 시스템을 선형공간이라고 한다.

평면 위에 화살표로 벡터를 표현하고 더하고 정수배를 할 수 있다.

하지만 특정 벡터의 위치를 표현하기 위해 좌표라는 번지를 매겨주는게 편하다.

기저 : 기준이 되는 한 쌍의 벡터

좌표 : 기준에서 얼마나 나아갔는가?

기저가 되기 위한 조건

1. \( v = x_1e_1 + \cdots + x_ne_n \)
• 벡터 v를 기저와 좌표로 나타낼 수 있어야 한다.
  
  
2. 위 식에서 \( x_1, \cdots, x_n \)이 하나만 존재해야 한다.
• \( u_1e_1 + \cdots + u_ne_n = 0 \) (영벡터)
• 이면 \( u_1 + \cdots + u_n = 0 \) - 선형독립이라고도 한다.
• 위 식은 \( x_1e_1 + \cdots + x_ne_n = x'_1e_1 + \cdots + x'_ne_n \)
• 즉 \( (x_1 - x'_1)e_1 + \cdots + (x_n - x'_n)e_n \)와 동일하다고 보면 된다.

주어진 벡터 \( e_1,\cdots,e_n \)에 숫자 \( u_1,\dots,u_n \)를 결합하여 벡터를 만들 수 있다면

예를 들어 \( x = u_1e_1 + \cdots + u_ne_n \)를 만들었다면

이를 \( e_1,\cdots,e_n \)의 선형결합이라고 한다. (일차결합이라고도 한다.)

선형결합을 통해 벡터를 만들 수 있고 그 벡터가 유일하다면 선형결합을 한

\( e_1,\cdots,e_n \)를 기저라고 할 수 있다.

참고로 기저 벡터의 수를 차원이라고 한다.

위에 나왔던 좌표는 기저벡터를 생략한 숫자만 적어놓은 것이라고 보면 된다.

각 좌표의 숫자들을 더하거나 정수배를 계산하면 되고

실제 벡터로 계산할때는 기저벡터를 곱해주면 되는 것이다.

참고자료

프로그래머를 위한 선형 대수

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector