수학/선형대수학

벡터 - 외적

msparkms 2012. 8. 22. 12:49
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외적 (Cross Product)

정의


벡터 a 와 b 의 외적은 a × b 로 정의된다.

외적의 결과로 나온 벡터 c 는 벡터 a 와 b 의 수직인 벡터로 오른손 법칙의 방향을 따른다.


외적 공식을 정리해보면 다음과 같다.



여기서 θ 는 벡터 a 와 b 의 각도이다. (0° ≤ θ ≤ 180°)
-> sin 값을 가지기 때문에 두 벡터가 평행하다면 외적의 결과는 0 벡터가 될 것이다.

벡터 n 은 위의 오른손 법칙에 의해 결정된 방향을 가지는 단위 벡터이다.

오른손 법칙을 이용해서 방향을 구하는 것이기 때문에 벡터 a 와 b 의 순서에 따라 결과가 달라진다.

즉 anti-commutive(교환 법칙 X)이다. 

대수학적 속성


교환 법칙

분배 법칙 <-> 결합법칙

스칼라 곱

자기 자신과의 외적
a × a = 0

0 벡터와의 외적
a × 0 = 0


좌표

 



다음과 같이 표준 기저 벡터 i, j, k를 가지는 좌표축이 있다고 하자.

기저에 대해서 외적을 적용해보면 아래와 같이 된다.
             
         
           


벡터 a 와 b 를 표준 기저 벡터를 이용하여 나타내면 아래와 같다.



이 표현을 적용해 외적을 구해보면 아래와 같다.

\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} = & a_1b_1\mathbf{0} + a_1b_2\mathbf{k} + a_1b_3(-\mathbf{j}) + a_2b_1(-\mathbf{k}) + a_2b_2\mathbf{0} + a_2b_3\mathbf{i} + a_3b_1\mathbf{j} + a_3b_2(-\mathbf{i}) + a_3b_3\mathbf{0} \\ =& (a_2b_3 - a_3b_2) \mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3) \mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1) \mathbf{k}. \\ \end{align}

외적 연산으로 구해진 벡터 c 를 정리해서 적으면 

c = c1i + c2j + c3k = a × b

스칼라 값만 정리하면 아래와 같다.


c
c
c


행렬

  


외적은 행렬의 행렬식으로도 표현할 수 있다.


행렬식에 대해 자세한 내용은 행렬 파트를 참조하세요. 
(행렬식 해법 : Sarrus' rule or Cofactor expansion)

Sarrus' Rule 




위와 같이 전개하는 것을 Sarrus' Rule이라 한다. 외적 순서 외울때 사용해도 좋다.

Cofactor expansion


기하학적 의미

 


외적으로 구해진 벡터의 크기는 평행사변형의 넓이를 의미한다.

A


스칼라 삼중적


벡터 삼중적

삼중적의 경우에는 이런것이 있다 정도만 알아도 되지만 공식을 외워둔다면
복잡한 벡터식을 외적으로 묶어버리거나 아니면 다시 풀어버리는등의 도움이 될 것 같다.

위에서 배운 스칼라 삼중적의 크기는 평행사변형을 밑으로 하는 물체의 부피 크기를 의미한다.

V



간단히 식을 설명해보자면

(b × c)는 평행사변형의 넓이가 될 것이고 거기에 a 를 내적하면 a 에 cos 값이 곱해진 h 의 길이가 나오게 된다.

게임 내에서의 쓰임    


* 좌표계 생성
뷰 벡터, 업 벡터, 오른쪽 벡터등을 만들어 낼 때 사용.

* 각도 & 방향 계산
sin 값이 있으므로 내적과 마찬가지로 각도를 구할 수 있고 방향 또한 구할 수 있다.

다른 쓰임이 생각나는 대로 업데이트 하겠음..ㅋ

나머지 내용도 많은데 내가 모르는 것들이기도 하고 아직까지는 저 정도 필요도 없어보이고..


더 깊게 수학공부를 해서 이해가 되면 다시 올리도록 하겠다.


 

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